走江湖

走江湖,本来是指游方术士、算卦、看面相的;所以有个引申义是忽悠。

最近的枕边书是克莱因的《古今数学思想》,正好看到微积分的创立这,体会了下牛顿和莱布尼茨的走江湖~

这江湖主要是走在无穷小量这个东西上。

对于无穷小量,早期牛顿的描述是无限小的量、不可分的量、微元;
到了《自然哲学的数学原理》里面,牛顿用了“消失的可分量”来描述。

量在其中消失的最后比,严格说来,不是最后量的比,而是无限减少的这些量的比所趋近的极限,而它与这个极限之差虽然能比任何给出的差更小,但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。 – 《自然哲学的数学原理》by 牛顿

以上是牛顿做过的最清楚的说明。

莱布尼茨在早期写的是dx是很小的差,但dx的意义是什么仍然是不明的。
莱布尼茨描述求xy的微分:

(x+dx)(y+dy) – xy = xdy + ydx + dxdy, 但是dxdy是不可比较地小于xdy+ydx, 所以必须舍弃。

那么这个无穷小量和0有什么区别呢?为什么无穷小量的和能是个有限的值呢?既然如此那为什么在这个上面那个微分的时候,dxdy又怎么能直接被舍去呢?难道这个无穷小量就能被忽略了吗?

可以看的出来牛顿和莱布尼茨两人这里都在走江湖,并没有严格的搞清楚。作为看手稿的别人又怎么能被说服呢?后来又有许多人尝试用各种不同的方法对微积分给出严密性的说明,结果各人有各人不同的理解说明方法却没能真正解决问题,最后就搞的一团乱麻。罗尔批判当时微积分就是“a collection of ingenious fallacies”就是指的这一团乱麻。

早期人们在使用微积分的时候还是很别扭的,明知道这东西有没解释清楚的地方,但是确实这工具又真好用,就不得不用了。当时人们就是这样嘴巴上说不要身体却很诚实的把微积分用了下去。

来看傲娇的欧拉,就拒绝无穷小这概念:

毫无疑问,任何一个量可减小到完全消失的程度。但是,一个无穷小量无非是一个正在消失的量,所以它本身就等于0。这与无穷小的定义也是协调的,按照无穷小的定义,它应该小于任一指定的量;它毫无疑问的就应该是无;因为除非它等于0,否则总能给它指定一个和它相等的量,而这与假设矛盾的。- 《微分学原理》 by 欧拉

那时候微积分就像是个信仰:

“坚持,你就会有信心” – 达朗贝尔

一直到柯西完善了极限理论,严格用极限给出了微积分一系列的概念和精确定义,这个问题才算是在一定程度上被解决。

现在的微积分教材为了理论的严谨,一般是从实数理论开讲、然后柯西的极限那套、再然后才开始微分;正好与数学发展史相反。这样写在理论上确实是很完美很严谨,只是真的会把很多初学微积分的人给吓退了。

其实一直觉得顺着数学发展史来讲是比较自然的,先走江湖,再来完善底层理论;这样似乎更人让人理解到微积分到底要讲些什么,回头再来补上严谨的理论,这样也更能让人理解为什么要用ε-δ语言那么死板的格式来定义极限。

唔,其实有点类似先学C语言,然后再回头看汇编,就有恍然大悟之感:原来是这样!

Group Polarization – 群体极化

最近把Cass Sunstein的两本书看了下,《网络共和国》和《极端的人群》。在《网络共和国》里面作者用了一个章节的内容里面说明了“群体极化”这么一个现象;《极端的人群》则是整本书都在围绕这个主题在展开。

一个团体的成员一开始就有某种倾向的时候,在经过商议讨论之后,人们会朝更加偏向该倾向的方向继续移动,最后形成极端的观点。 – 《网络共和国》by 桑斯坦

前两天在在知乎上看到有人问为什么世嘉的粉丝虽然为数不多但是却十分的疯狂与执着,大脑里第一反应就是“群体极化”这个词。

现在,“世嘉”这个词被提起的时候几乎已经是失败的代名词,这样就会加剧小圈子的极端化。因为只有在这个小圈子当中,自己支持世嘉的观点才会被赞同,找到与自己相同观念的人一起抱团强化这个观点。

相同的,网络上各种倾向的圈子如“锤子手机粉”、“任粉”、“五毛”、“美分”、“基督教”、“穆斯林”、“转基因”等等都有类似现象。收集了些知乎上的例子:

罗永浩现在被黑成这样,你为什么还支持他?
为什么要黑任天堂?
为什么国内有很多人提倡和鼓励移民?
是不是知乎上很多人讨厌穆斯林?
为什么在一些知乎问题下,基督徒和圣经受到了一定程度的反感?
为什么有人反对转基因?

以上这些讨论中都有很典型的“打标签”、“站队”的现象。而在一个讨论的环境中,如果每个人都已经知道自己被打上了某种标签,比如:(“索饭”、“任粉”、“xbox粉”、“世嘉粉”等)或者(“支持转基因”、“反对转基因”),那么这种讨论发生的过程中,人们就不太可能会去认真的听取标签不同的人的观点。在这些讨论之后,原本就有某种倾向的人往往会更加坚定自己原有的观点,大家都在圈子内的讨论中与反对者的嘲弄声中不断的走向更加的极端与坚定。

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Gone with the Wind – 飘

There was a land of Cavaliers and Cotton Fields called the Old South. Here in this pretty world, Gallantry took its last bow. Here was the last ever to be seen of Knights and their Ladies Fair, of Master and of Slave. Look for it only in books, for it is no more than a dream remembered, a Civilization gone with the wind…

到不同地方走走看看,好处是能更了解那些地方发生过的事情。过去几年里面经常能在美国各处看到这样那样的南北战争的历史遗迹纪念地什么的。这个南方的种植园是第一次把“a civilization gone with the wind”具象化的地。从南方失败者的视角看那段历史。嗯,两排十八橡树,很漂亮。

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上面这张是在种植园里拍的,1848年的奴隶交易价格。而且奴隶的价格一直在上涨,到1860年的时候,青壮年奴隶的价格已经涨到1500到1800美元。那时候,这是一位技术工工作3到4年的总薪水才能赚到的钱。南北战争的奴隶解放是没有给奴隶主任何补偿的,从南方庄园主的角度来讲,“天杀的北方佬”才是他们眼中的林肯政府吧。

@Oak Alley Plantation, Vacherie, LA