走江湖

走江湖,本来是指游方术士、算卦、看面相的;所以有个引申义是忽悠。

最近的枕边书是克莱因的《古今数学思想》,正好看到微积分的创立这,体会了下牛顿和莱布尼茨的走江湖~

这江湖主要是走在无穷小量这个东西上。

对于无穷小量,早期牛顿的描述是无限小的量、不可分的量、微元;
到了《自然哲学的数学原理》里面,牛顿用了“消失的可分量”来描述。

量在其中消失的最后比,严格说来,不是最后量的比,而是无限减少的这些量的比所趋近的极限,而它与这个极限之差虽然能比任何给出的差更小,但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。 – 《自然哲学的数学原理》by 牛顿

以上是牛顿做过的最清楚的说明。

莱布尼茨在早期写的是dx是很小的差,但dx的意义是什么仍然是不明的。
莱布尼茨描述求xy的微分:

(x+dx)(y+dy) – xy = xdy + ydx + dxdy, 但是dxdy是不可比较地小于xdy+ydx, 所以必须舍弃。

那么这个无穷小量和0有什么区别呢?为什么无穷小量的和能是个有限的值呢?既然如此那为什么在这个上面那个微分的时候,dxdy又怎么能直接被舍去呢?难道这个无穷小量就能被忽略了吗?

可以看的出来牛顿和莱布尼茨两人这里都在走江湖,并没有严格的搞清楚。作为看手稿的别人又怎么能被说服呢?后来又有许多人尝试用各种不同的方法对微积分给出严密性的说明,结果各人有各人不同的理解说明方法却没能真正解决问题,最后就搞的一团乱麻。罗尔批判当时微积分就是“a collection of ingenious fallacies”就是指的这一团乱麻。

早期人们在使用微积分的时候还是很别扭的,明知道这东西有没解释清楚的地方,但是确实这工具又真好用,就不得不用了。当时人们就是这样嘴巴上说不要身体却很诚实的把微积分用了下去。

来看傲娇的欧拉,就拒绝无穷小这概念:

毫无疑问,任何一个量可减小到完全消失的程度。但是,一个无穷小量无非是一个正在消失的量,所以它本身就等于0。这与无穷小的定义也是协调的,按照无穷小的定义,它应该小于任一指定的量;它毫无疑问的就应该是无;因为除非它等于0,否则总能给它指定一个和它相等的量,而这与假设矛盾的。- 《微分学原理》 by 欧拉

那时候微积分就像是个信仰:

“坚持,你就会有信心” – 达朗贝尔

一直到柯西完善了极限理论,严格用极限给出了微积分一系列的概念和精确定义,这个问题才算是在一定程度上被解决。

现在的微积分教材为了理论的严谨,一般是从实数理论开讲、然后柯西的极限那套、再然后才开始微分;正好与数学发展史相反。这样写在理论上确实是很完美很严谨,只是真的会把很多初学微积分的人给吓退了。

其实一直觉得顺着数学发展史来讲是比较自然的,先走江湖,再来完善底层理论;这样似乎更人让人理解到微积分到底要讲些什么,回头再来补上严谨的理论,这样也更能让人理解为什么要用ε-δ语言那么死板的格式来定义极限。

唔,其实有点类似先学C语言,然后再回头看汇编,就有恍然大悟之感:原来是这样!